直角三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點(diǎn)A落在直角邊BC上,記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.探究:如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形,那么紙片中∠B的度數(shù)是多少?寫出你的計(jì)算過程,并畫出符合條件的折疊后的圖形.
作業(yè)寶

解:∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,
∴CF=CD,
∴∠CFD=∠CDF=45°,
設(shè)∠DAE=x°,由對稱性可知,AF=FD,AE=DE,
∴∠FDA=∠CFD=22.5°,∠DEB=2x°,
分類如下:
①當(dāng)DE=DB時(shí),∠B=∠DEB=2x°,
由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+22.5°+x=4x,
解得:x=22.5°.此時(shí)∠B=2x=45°;
見圖形(1),說明:圖中AD應(yīng)平分∠CAB.
②當(dāng)BD=BE時(shí),則∠B=(180°-4x)°,
由∠CDE=∠DEB+∠B得:45°+22.5°+x=2x+180°-4x,
解得x=37.5°,此時(shí)∠B=(180-4x)°=30°.
圖形(2)說明:∠CAB=60°,∠CAD=22.5°.
③DE=BE時(shí),則∠B=()°,
由∠CDE=∠DEB+∠B得,45°+22.5°+x=2x+,
此方程無解.
∴DE=BE不成立.
綜上所述∠B=45°或30°.
分析:先確定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因?yàn)椴淮_定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形,故需討論,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可.
點(diǎn)評:本題考查了翻折變換及等腰三角形的知識,有一定的綜合性,在不確定等腰三角形的腰時(shí)要注意分類討論,不要漏解,另外要注意方程思想在求解幾何問題中的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角三角形紙片ABC,∠C=90°,AC=6,BC=8,折疊△ABC的一角,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,展開得折痕DE,求BD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),小強(qiáng)將一張直角三角形紙片ABC沿斜邊上的中線CD剪開成△AC1D1和△BC2D2
(1)將圖(1)中的△AC1D1(△ACD)紙片沿CD翻折,點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處,CA1恰好與AB垂直(如圖(2)),求tanA的值;
(2)將圖(1)中的△AC1D1紙片沿直線D2B(AB)方向平移(點(diǎn)A、D2、D1、B在同一直線上),C1D1與BC2交于點(diǎn)E,AC1與C2D2交于點(diǎn)F(如圖(3)),求證:D1E=D2F.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•開平區(qū)一模)如圖,在直角三角形紙片ABC中,∠A=90°,剪去這個(gè)直角后得到一個(gè)四邊形,則∠BEF+∠CFE的度數(shù)是
270
270
度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•溧水縣二模)已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片△ABC、△DEF,如圖1放置,點(diǎn)B、D重合,點(diǎn)F在BC上,AB與EF交于點(diǎn)G.∠C=∠EFB=90°,∠E=∠ABC=30°,AB=DE=4.
(1)若紙片△DEF不動,把△ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí),連結(jié)CD,AE,如圖2.
①求證:四邊形ACDE為梯形;
②求四邊形ACDE的面積.
(2)將圖1中的△ABC繞點(diǎn)F按每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,直接寫出△ABC恰有一邊與DE平行的時(shí)間.(寫出所有可能的結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在長為44,寬為12的矩形PQRS中,將一張直角三角形紙片ABC和一張正方形紙片DEFG如圖放置,其中邊AB、DE在PQ上,邊EF在QR上,邊BC、DG在同一直線上,且Rt△ABC兩直角邊BC=6,AB=8,正方形DEFG的邊長為4.從初始時(shí)刻開始,三角形紙片ABC,沿AP方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向左平移;同時(shí)正方形紙片DEFG,沿QR方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向上平移,當(dāng)邊GF落在SR上時(shí),紙片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移,直至G點(diǎn)與S點(diǎn)重合時(shí),兩張紙片同時(shí)停止移動.設(shè)平移時(shí)間為x秒.
(1)請?zhí)羁眨寒?dāng)x=2時(shí),CD=
2
2
2
2
,DQ=
4
2
4
2
,此時(shí)CD+DQ
=
=
CQ(請?zhí)睢埃肌�、�?”、“>”);
(2)如圖2,當(dāng)紙片DEFG沿QR方向平移時(shí),連接CD、DQ和CQ,求平移過程中△CDQ的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍(這里規(guī)定線段的面積為零);
(3)如圖3,當(dāng)紙片DEFG沿RS方向平移時(shí),是否存在這樣的時(shí)刻x,使以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出對應(yīng)x的值;若不存在,請說明理由.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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