如圖,正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.下列結(jié)論:①點(diǎn)G是BC中點(diǎn);②FG=FC;③S△FGC=
其中正確的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】分析:先求出DE、CE的長,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=AF,EF=DE,∠AFE=∠D=90°,再利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=FG,再設(shè)BG=FG=x,然后表示出EG、CG,在Rt△CEG中,利用勾股定理列出方程求出x=,從而可以判斷①正確;根據(jù)∠AGB的正切值判斷∠AGB≠60°,從而求出∠CGF≠60°,△CGF不是等邊三角形,F(xiàn)G≠FC,判斷②錯(cuò)誤;先求出△CGE的面積,再求出EF:FG,然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到△FGC的面積,判斷③正確.
解答:解:∵正方形ABCD中,AB=3,CD=3DE,
∴DE=×3=1,CE=3-1=2,
∵△ADE沿AE對(duì)折至△AFE,
∴AD=AF,EF=DE=1,∠AFE=∠D=90°,
∴AB=AF=AD,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴BG=FG,
設(shè)BG=FG=x,則EG=EF+FG=1+x,CG=3-x,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2,
即(1+x)2=(3-x)2+22,
解得,x=,
∴CG=3-=
∴BG=CG=,
即點(diǎn)G是BC中點(diǎn),故①正確;

∵tan∠AGB===2,
∴∠AGB≠60°,
∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°,
又∵BG=CG=FG,
∴△CGF不是等邊三角形,
∴FG≠FC,故②錯(cuò)誤;

△CGE的面積=CG•CE=××2=,
∵EF:FG=1:=2:3,
∴S△FGC=×=,故③正確;
綜上所述,正確的結(jié)論有①③.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),翻折變換的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)各邊的熟量關(guān)系利用勾股定理列式求出BG=FG的長度是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
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2
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A、1B、2C、3D、4

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