Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．

（1）求直線的解析式；

（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，若點(diǎn)是平面內(nèi)的一點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)或(0，3)或(，)

【解析】

(1)求出A(-4，0)，B(0，3)，C(4，0)，利用待定系數(shù)法求BC的解析式即可；
(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，求出AD的長(zhǎng)，利用三角形函數(shù)求出，BQ=AB-PB=5+，再由，代入所求量即可求解；
(3)由(2)求出P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，分四種情況分別求N點(diǎn)坐標(biāo)：當(dāng)N點(diǎn)在PQ上方時(shí)；當(dāng)N點(diǎn)在PQ下方時(shí)；當(dāng)PQ為菱形對(duì)角線時(shí)；當(dāng)PN為菱形對(duì)角線時(shí)．

(1)對(duì)于直線當(dāng)，；當(dāng)，，
∴，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
設(shè)直線BC的解析式為，
將點(diǎn)B、C代入解析式可得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為；

(2)如圖：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，

∵，C，

∴OA=OC=4，OB=3，
∴AC=8，AB=BC=5，
∴，即，

∴，

∵點(diǎn)P在直線上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

∴，cos∠BPF=cos∠BAO，

即，

∴，

∵，

∴，

∵AP=BQ，
∴，

∴；

(3)∵，

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

∴，

∵點(diǎn)Q在直線上，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)，

∵，

∴，

解得：，
∵Q在線段BC上，
∴，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)，

∴PQ∥x軸，

∴，
如圖：當(dāng)N點(diǎn)在PQ上方時(shí)，過(guò)N點(diǎn)作NH⊥PQ交于點(diǎn)H，

∵PQ∥軸，

∴，

∵PN=PQ=4，

∴，

∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

解得：，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，

同理，當(dāng)N點(diǎn)在PQ下方時(shí)，N點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)；

∵P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)PQ為菱形對(duì)角線時(shí)，
∴當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，3)時(shí)，NPMQ是菱形；
如圖：當(dāng)PN為菱形對(duì)角線時(shí)，
作Q點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為M，
設(shè)QM與PN的交點(diǎn)為G，過(guò)G點(diǎn)作LK⊥PQ交PQ于點(diǎn)K，交MN于點(diǎn)L，

∵MQ⊥PN，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵點(diǎn)P，Q，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且PN為菱形對(duì)角線，

∴MN∥PQ，即ML∥KQ，

又∵Q點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為M，

∴QG=GM

∴，

∴，

∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

解得：，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，

綜上所述：點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)或(0，3)或(，) ．