Question

如圖，二次函數y=x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．

（1）求二次函數的解析式．

（2）求函數圖象的頂點坐標及D點的坐標．

（3）該二次函數的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積．

（4）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函數解析式為：y=x²﹣4x+6，

（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，

∴函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），

∵點A，D是y=x²+bx+c與x軸的兩個交點，

又∵點A（2，0），對稱軸為x=4，

∴點D的坐標為（6，0）．

（3）∵二次函數的對稱軸交x軸于C點．

∴C點的坐標為（4，0）

∵B（8，6），

設BC所在的直線解析式為y=kx+b，

∴解得

∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，

∵E點是y=x﹣6與y=x²﹣4x+6的交點，

∴x﹣6=x²﹣4x+6

解得x₁=3，x₂=8（舍去），

當x=3時，y=﹣，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

設點P到x軸的距離為h，

∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h

∵S_△ADP=S_△BCD

∴2h=6×，解得h=，

當P在x軸上方時，

=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，

當當P在x軸下方時，

﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，

∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．