Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是AB上不與A、B重合的任意一點，作PQ⊥DP，Q在BC上，設AP=x，BQ=y，
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）求函數(shù)圖象的頂點坐標，并作出大致圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)圖象將PB用x表示．再根據(jù)在直角三角形中正切函數(shù)與兩直角邊間的關系，列出函數(shù)關系式．求得y與x之間的函數(shù)關系式，自變量x也就確定．
（2）將函數(shù)關系式寫為頂點式，馬上可確定頂點坐標．根據(jù)三點坐標畫出圖象即可．
解答：解：（1）∵AP=x
∴BP=AB-AP=4-x
∵PQ⊥DP，即∠DPQ=90°
∴∠DPA+∠BPQ=180°-∠DPQ=90°
又∵∠DPA+∠ADP=90°
∴∠ADP=∠BPQ?tan∠ADP=tan∠BPQ?，即
∴y=-（x-2）²+1 （0＜x＜4）

（2）由上面解析式可知，頂點坐標為（2，1），

點評：本題著重考查了二次函數(shù)的圖象、正方形的性質(zhì)．再建立函數(shù)關系式過程中靈活運用了三角函數(shù)（本題該過程也可通過相似三角形來解決）．