如圖,正方形ABCD的邊長為4,點P是AB上不與A、B重合的任意一點,作PQ⊥DP,Q在BC上,設AP=x,BQ=y,
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標,并作出大致圖象.

【答案】分析:(1)首先根據(jù)圖象將PB用x表示.再根據(jù)在直角三角形中正切函數(shù)與兩直角邊間的關系,列出函數(shù)關系式.求得y與x之間的函數(shù)關系式,自變量x也就確定.
(2)將函數(shù)關系式寫為頂點式,馬上可確定頂點坐標.根據(jù)三點坐標畫出圖象即可.
解答:解:(1)∵AP=x
∴BP=AB-AP=4-x
∵PQ⊥DP,即∠DPQ=90°
∴∠DPA+∠BPQ=180°-∠DPQ=90°
又∵∠DPA+∠ADP=90°
∴∠ADP=∠BPQ?tan∠ADP=tan∠BPQ?,即
∴y=-(x-2)2+1 (0<x<4)

(2)由上面解析式可知,頂點坐標為(2,1),

點評:本題著重考查了二次函數(shù)的圖象、正方形的性質(zhì).再建立函數(shù)關系式過程中靈活運用了三角函數(shù)(本題該過程也可通過相似三角形來解決).
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