Question

【題目】如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．

（1）求證：△ABC≌△ADE；（圖1）

（2）求∠FAE的度數(shù)；（圖1）

（3）如圖2，延長CF到G點，使BF=GF，連接AG．求證：CD=CG；并猜想CD與2BF+DE的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠FAE=135°；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；

（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．

（1）證明：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，

由（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

（3）證明：∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

在△CGA和△CDA中，

，

∴△CGA≌△CDA，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．