如圖,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P為下底BC上一點(diǎn)(不與B、C重合),連接AP,過P作∠APE=∠B,交DC于E.

(1)求證:△ABP∽△PCE;

(2)求等腰梯形的腰AB的長(zhǎng);

(3)在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的長(zhǎng);如果不存在,請(qǐng)說明理由.


 

考點(diǎn): 等腰梯形的性質(zhì);解分式方程;三角形的外角性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì). 

專題: 幾何綜合題;壓軸題.

分析: (1)欲證△ABP∽△PCE,需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等;由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP;由此得證;

(2)可過作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長(zhǎng)即可求得AB的值;

(3)在(2)中求得了AB的長(zhǎng),即可求出DE:EC=5:3時(shí),DE、CE的值.設(shè)BP的長(zhǎng)為x,進(jìn)而可表示出PC的長(zhǎng),然后根據(jù)(1)的相似三角形,可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式,由此可得出關(guān)于x的分式方程,若方程有解,則x的值即為BP的長(zhǎng).若方程無解,則說明不存在符合條件的P點(diǎn).

解答: (1)證明:由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;

∵∠B=∠APE

∴∠EPC=∠BAP

∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE;

 

(2)解:過A作AF⊥BC于F;

∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,

∴BF=,

∵Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2;

∴AB=4cm;

 

(3)解:存在這樣的點(diǎn)P.

理由是:∵

解之得EC=cm.

設(shè)BP=x,則PC=7﹣x

由△ABP∽△PCE可得

=

∵AB=4,PC=7﹣x,

=

解之得x1=1,x2=6,

經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意,

即BP=1cm或BP=6cm.

點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì),以及相似三角形的判定和性質(zhì).

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


觀察下列球的排列規(guī)律(其中●是實(shí)心球,○是空心球):

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…從第1個(gè)球起到第2009個(gè)球止,共有實(shí)心球  個(gè).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


當(dāng)x      時(shí),根式有意義.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,在鈍角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止,動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒.如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是(  )

  A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,圖中小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,它們的頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)上.

(1)畫出位似中心點(diǎn)O;

(2)△ABC與△A′B′C′的位似比為 1:2 ;

(3)以點(diǎn)O為位似中心,再畫一個(gè)△A1B1C1,使它與△ABC的位似為1:2.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


已知,且3x+4z﹣2y=40,求x+y+z= 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,上體育課,九年級(jí)三班的甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí),乙的影子恰好在甲的影子里邊,已知甲,乙同學(xué)相距1米.甲身高1.8米,乙身高1.5米,則甲的影長(zhǎng)是( 。

  A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


正六邊形的邊心距為,則該正六邊形的邊長(zhǎng)是( 。

  A.  B. 2 C. 3 D. 2

 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


甲數(shù)x的與乙數(shù)y的的差可以表示為 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案