Question

【題目】已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、，頂點為

求該二次函數(shù)的解析式；

如圖，過A、C兩點作直線，并將線段AC沿該直線向上平移，記點A、C分別平移到點D、E處若點F在這個二次函數(shù)的圖象上，且是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標(biāo)；

試確定實數(shù)p，q的值，使得當(dāng)時，．

Answer 1

【答案】（1）該二次函數(shù)的解析式為；（2）點F的坐標(biāo)為；（3）滿足條件的實數(shù)p，q的值為，或，．

【解析】分析：（1）由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點為C（-1，-2），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2-2，再把B（-3，0）代入，利用待定系數(shù)法即可求出該二次函數(shù)的解析式；

（2）由二次函數(shù)的解析式求出A（1，0）．過點C作CH⊥x軸于點H．解直角△ACH，得出AH=2=CH，那么∠1=45°，AC=2．解等腰直角△DEF得出∠2=45°，EF=4，由∠1=∠2=45°，得到EF∥CH∥y軸．利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x-1．設(shè)F（m，m2+m-）（其中m＞1），則點E（m，m-1），那么EF=（m2+m-）-（m-1）=m2-=4，解方程求出m，進而得出點F的坐標(biāo)；

（3）先求出y=時x1=-4，x2=2．再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)p≤x≤q時，p≤y≤，應(yīng)分三種情況討論：①p≤x≤-1；②p＜-1≤q；③-1≤p＜q．

詳解：二次函數(shù)的頂點為，

可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，

把代入，得，

解得，

該二次函數(shù)的解析式為；

由，得或1，

．

如圖，過點C作軸于點H．

，

，，

又，

，

，．

在等腰直角中，，，

，，

，

軸．

由，可得直線AC的解析式為．

由題意，設(shè)其中，則點，

，

，不合題意舍去，

點F的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，，解得，．

，

當(dāng)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，y隨x的增大而增大；

當(dāng)時，y有最小值．

當(dāng)時，，

可分三種情況討論：

當(dāng)時，由增減性得：

當(dāng)時，，當(dāng)時，，不合題意，舍去；

當(dāng)時，

Ⅰ若，由增減性得：

當(dāng)時，，當(dāng)時，，不合題意，舍去；

Ⅱ若，由增減性得：

當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合題意，

，；

當(dāng)時，由增減性得：

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

把，代入，得，

解得，不合題意，舍去，

，．

綜上所述，滿足條件的實數(shù)p，q的值為，或，．