Question

28、如圖P為等邊三角形內(nèi)一點，且PA=5，PB=3，PC=4．若將△ABP轉(zhuǎn)過一定角度至△CBP₁問：
①旋轉(zhuǎn)角多少度？
②判斷△PP₁B形狀？試說明理由．
③求∠BPC的度數(shù)？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∠ABC等于旋轉(zhuǎn)角，即可得到旋轉(zhuǎn)角為60度；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到BP₁=BP，∠P₁BP=60°，即可判斷△PP₁C為等邊三角形．
（3）由PA=5，PB=3，PC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到P₁C=PA=5，P₁P=PB=3，則P₁P²+PC²=P₁C²，根據(jù)勾股定理的逆定理得∠P₁PC=90°，即可得到∠BPC的度數(shù)．

解答：解：（1）∵△CBP₁由△ABP旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠ABC等于旋轉(zhuǎn)角，
而△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
即旋轉(zhuǎn)角為60度；

（2）△PP₁B為等邊三角形．理由如下：
∵△CBP₁由△ABP旋轉(zhuǎn)得到，
∴BP₁=BP，∠P₁BP=60°，
∴△PP₁B為等邊三角形；

（3）∠BPC=150°．理由如下：
∵PA=5，PB=3，PC=4．
∴P₁C=PA=5，P₁P=PB=3，
在△P₁PC中，P₁P²+PC²=P₁C²，
∴∠P₁PC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了勾股定理的逆定理．