Question

【題目】如圖①，已知拋物線y＝-x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，求四邊形BDCP面積的最大值；

(3)如圖②，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，且不與點(diǎn)O、B重合．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，交線段BC于點(diǎn)Q，連接OQ，是否存在t值，使得△BOQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S四邊形BDCP最大值為；（3）存在，或

【解析】

（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，求出b，c的值即可；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則，再由S四邊形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP，求出最大值即可；

（3）分三種情況討論，①當(dāng)OQ=BQ時(shí)，②當(dāng)BO=BQ時(shí)，③當(dāng)OQ=OB時(shí)，分別求出t即可.

解：（1）∵點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)，

∴，

解得： ，

∴；

（2）∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，

設(shè)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

拋物線與y軸的交點(diǎn)，令x=0，得y=3，

∴，

∴OC=3，

∵D（1，0），

∴OD=1，

∵，

∴S四邊形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP

，

∴當(dāng)時(shí)，S四邊形BDCP最大值為；

（3）∵M（2t，0），MN⊥x軸，

∴Q（2t，3-2t），

∵△BOQ為等邊三角形，

∴分三種情況討論，

①當(dāng)OQ=BQ時(shí)，

∵QM⊥OB，

∴OM=MB，

∴2t=3-2t，

∴；

②當(dāng)BO=BQ時(shí)，

在Rt△BMQ中，∠OBQ=45°，

∴，

∴，即，

∴；

③當(dāng)OQ=OB時(shí)，

則Q、C重合，此時(shí)t=0，

由題知，t＞0，

∴不存在，

綜上，或時(shí)，△BOQ為等腰三角形.