Question

如圖，AB，AC，AD是圓中的三條弦，點E在AD上，且AB=AC=AE．請你說明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD=2∠DBE；
（2）AD²-AB²=BD•DC．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖要證明∠CAD=2∠DBE，延長BE交圓于點F，只需要證明∠1=∠DBF，點F是弧CD的中點，這樣就可以證明出結論．
（2）要證明結論的成立構造相似三角形，利用相似三角形的線段比證明其線段的關系，連接BC設BC與AD的交點為G．∴△BAG∽△DAB和△BDG∽△ADC，從而證明出結論．
解答：證明：（1）延長BE交圓于點F，
∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴
∵AB=AC
∴
∴
∴點F是的中點
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；

（2）連接BC交AD于點G，
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB²=AG•AD．
∴AD²-AB²=AD²-AG•AD=AD（AD-AG）=AD•DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴，
∴AD•DG=BD•DC．
∴AD²-AB²=BD•DC．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，弧、弦、圓周角之間的關系．