Question

如圖，以矩形ABCD的頂點A為原點，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．點D的坐標為(8，0)，點B的坐標為(0，6)，點F在對角線AC上運動(點F不與點A，C重合)，過點F分別作x軸、y軸的垂線，垂足為G，E．設四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．

(1)試判斷S₁，S₂的關系，并加以證明；

(2)當S₃∶S₂＝1∶3時，求點F的坐標；

(3)如圖，在(2)的條件下，把△AEF沿對角線AC所在直線平移，得到，且兩點始終在直線AC上，是否存在這樣的點，使點到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5∶4．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　S1＝S2 　　證明：如圖，∵FE⊥軸，FG⊥軸，∠BAD＝90°， 　　∴四邊形AEFG是矩形． 　　∴AE＝GF，EF＝AG． 　　∴S△AEF＝S△AFG，同理S△ABC＝S△ACD． 　　∴S△ABC－S△AEF＝S△ACD－S△AFG．即S1＝S2． 　　(2)∵FG∥CD，∴△AFG∽△ACD． 　　∴． 　　∴FG＝CD，AG＝AD． 　　∵CD＝BA＝6，AD＝BC＝8，∴FG＝3，AG＝4．∴F(3，4)． 　　(3)解法一：∵是由△AEF沿直線AC平移得到的， 　　∴＝EA＝3，＝EF＝4．①如圖1 　　∵點到軸的距離與到軸的距離比是5∶4，若點在第一象限， 　　∴設 (4，5)且＞0， 　　延長交軸于M，得＝5－3，AM＝4． 　　∵∠＝∠MA＝90°，∠＝∠MA， 　　∴△∽△MA，得． 　　∴．∴＝， (6，)． 　�、谌鐖D2 　　∵點到軸的距離與到軸的距離比是5∶4， 　　若點在第二象限，∴設 (－4，5)且＞0， 　　得NA＝4，N＝3－5， 　　同理得△∽△AN． 　　∴，． 　　∴a＝，∴ (，)． 　�、廴鐖D3 　　∵點到軸的距離與到軸的距離比是5∶4， 　　若點在第三象限，∴設 (－4，－5)且＞0． 　　延長交軸于點P，得AP＝5，P＝4－4． 　　同理得∽△AP，得， 　　.∴＝(不合舍去)． 　　∴在第三象限不存在點． 　　④點不可能在第四象限． 　　∴存在滿足條件的坐標分別是(6，)、(，)． 　　解法二：如圖4，∵是由△AEF沿直線AC平移得到的，且、兩點始終在直線AC上， 　　∴點在過點E(0，3)且與直線AC平行的直線l上移動． 　　∵直線AC的解析式是， 　　∴直線l的解析式是． 　　根據(jù)題意滿足條件的點的坐標設為(4，5)或(－4，5)或(－4，－5)，其中＞0． 　　∵點在直線l上，∴或或 　　解得(不合舍去)．∴ (6，)或 (，)． 　　∴存在滿足條件的坐標分別是(6，)、(，)． 　　解法三： 　　∵是由△AEF沿直線AC平移得到的，且、兩點始終在直線AC上， 　　∴點在過點E(0，3)且與直線AC平行的直線l上移動． 　　∵直線AC的解析式是，∴直線L的解析式是． 　　設點為(，)∵點到軸的距離與到軸的距離比是5∶4，∴． 　�、佼�、為同號時，得解得∴ (6，7.5)． 　�、诋�、為異號時，得解得∴ (，)． 　　∴存在滿足條件的坐標分別是(6，)、(，)．