Question

【題目】問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問題探究：不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？此時，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當n＝3時，m＝1

（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當n＝4時，m＝0

（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形？若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n＝5時，m＝1

（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形？若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n＝6時，m＝1

綜上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并把結果填在表②中）

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？（只需把結果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，…

解決問題：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

（設n分別等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整數，把結果填在表 ③中）

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m

問題應用：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）其中面積最大的等腰三角形每個腰用了　 　根木棒．（只填結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；解決問題：見解析；問題應用：503個不同的等腰三角形，672

【解析】

探究二：

（1）周長為7，讓腰長從1開始逐個驗證即可；

（2）周長為8、9、10，方法同上；

解決問題：

問題的本質是，給定三角形的周長n，且n=2a+b，求滿足要求的a的整數解的個數m．因此，根據三角形三邊關系，我們將a的取值范圍用n表示出來，從而就可以確定n在取任意值時，a的整數解個數m；

任意一個整數，均可以表示成4k-1，4k，4k+1，4k+2四種形式當中的一種，讓n取這四種值，得出m的值填表；

問題應用：

根據上面探究得出的一般結論，只需看2016符號哪種情況即可．n=2016=504×4，m=504-1=503；

周長相同的情況下，等邊三角形面積最大；

探究二：

（1）7＝1+1+5（舍去）；

7＝2+2+3（符合要求）；

7＝3+3+1（符合要求）；

（2）8＝1+1+6（舍去）；

8＝2+2+4（舍去）；

8＝3+3+2（符合要求）；

9＝1+1+7（舍去）；

9＝2+2+5（舍去）；

9＝3+3+3（符合要求）；

9＝4+4+1（符合要求）；

10＝1+1+8（舍去）；

10＝2+2+6（舍去）；

10＝3+3+4（符合要求）；

10＝4+4+2（符合要求）；

填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解決問題：

令n＝a+a+b＝2a+b，

則：b＝n﹣2a，

根據三角形三邊關系定理可知：

2a＞b且b＞0，

∴，

解得：，

若n＝4k﹣1，則，a的整數解有k個；

若n＝4k，則k＜a＜2k，a的整數解有k﹣1個；

若n＝4k+1，則，a的整數解有k個；

若n＝4k+2，則，a的整數解有k個；

填表如下：

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k﹣1	k	k

問題應用：

∵2016＝4×504，

∴k＝504，

則可以搭成k﹣1＝503個不同的等腰三角形；

當等腰三角形是等邊三角形時，面積最大，

∴2016÷3＝672．