Question

已知：直線與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y=x²+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為 （1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AE上一動點，當△PBC周長最小時，求點P坐標；
（3）動點Q在x軸上移動，當△QAE是直角三角形時，求點Q的坐標；
（4）在y軸上是否存在一點M，使得點M到C點的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與y軸交于A，
∴A點的坐標為（0，2），
∵B點坐標為 （1，0）．
∴
∴；

（2）作出C關于直線AE的對稱點F，由B和F確定出直線BF，與直線AE交于P點，

P（）；

（3）根據(jù)題意得：x+2=x²-x+2，
解得：x=0或x=6，
∴A（0，2），E（6，5），
∴AE=3，
設Q（x，0），
①若Q為直角頂點，
則AQ²+EQ²=AE²，
即x²+4+（x-6）²+25=45，
此時x無解；
②若點A為直角頂點，
則AQ²+AE²=EQ²，
即x²+4+45=（x-6）²+25，
解得：x=1，
即Q（1，0）；
③若E為直角頂點，
則AQ²=AE²+EQ²，
即x²+4=45+（x-6）²+25，
解得：x==，
此時求得Q（，0）；
∴Q（1，0）或（，0）

（4）假設存在，設M坐標為（0，m），則OM=|m|，
此時MD⊥AD，
∵OC=4，AO=2，OD=4，
∴在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=2，且AM=2-m，CM=，
∵MD=MC，
∴根據(jù)勾股定理得：=，
即（2-m）²-（2）²=m²+16，
解得m=-8，
則M（0，-8）．
分析：（1）利用直線與y軸交于A，求得點A的坐標，再利用B點的坐標利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）求出點C關于直線AE的對稱點F的坐標，然后求出直線BF的解析式后求與直線AE的交點坐標即可；
（3）設出P點的坐標，然后表示出AP、EP的長，求出AE的長，利用勾股定理得到有關P點的橫坐標的方程，求得其橫坐標即可；
（4）設出M點的坐標，利用C點的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關M點的縱坐標的方程解得M點的縱坐標即可．
點評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應用過程．