Question

【題目】如圖①，若二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于正比例函數(shù)y= x的圖象的對(duì)稱點(diǎn)為C．

（1）求b、c的值；
（2）證明：點(diǎn)C在所求的二次函數(shù)的圖象上；
（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)B作DB⊥x軸交正比例函數(shù)y= x的圖象于點(diǎn)D，連結(jié)AC，交正比例函數(shù)y= x的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD．如果動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AD方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D沿線段DC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ、QE、PE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使PE平分∠APQ，同時(shí)QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0）在拋物線y= x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=﹣ ，c=﹣

（2）

解：設(shè)點(diǎn)F在直線y= x上，且F（2， ）．

如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，則FH= ，OH=2，

∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．

連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K．

∵點(diǎn)A、C關(guān)于y= x對(duì)稱，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．

∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°．

在Rt△COK中，CK=OCsin60°=2× = ，OK=OCcos60°=2× =1．

∴C（1，﹣ ）．

拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣ ，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣ ，

∴點(diǎn)C在所求二次函數(shù)的圖象上

（3）

解：假設(shè)存在．

如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC= = = ．

如答圖2所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= = =2 ．

∵點(diǎn)A、C關(guān)于y= x對(duì)稱，

∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ．

連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四邊形內(nèi)角和等于360°），

即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，

∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．

又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∴∠AEP=∠CQE．

在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，

∴△APE∽△CEQ，

∴ ，即： ，

整理得：2t2﹣ t+3=0，

解得：t= 或t= （t＜ ，所以舍去）

∴存在某一時(shí)刻，使PE平分∠APQ，同時(shí)QE平分∠PQC，此時(shí)t=

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出b，c的值；（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．首先求出直線y= x與x軸所夾銳角為60°，則可推出在Rt△COK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如答圖2所示，關(guān)鍵是證明△APE∽△CEQ．根據(jù)∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據(jù)相似線段比例關(guān)系列出方程，解方程求出時(shí)間t的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．