Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為t秒．

（1）當t=時，點P與點Q相遇；
（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為S平方單位．
①求S與t之間的函數(shù)關系式；
②當S最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）7
（2）

解：Q從C到A的時間是2秒，P從B到C的時間是3秒．

則當0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1s．

當2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH= PC．△AQH∽△ABC，

∵BC=3，AB=5，QH⊥AC，

∴ = = ，

∴QH= AQ，

在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，則QH= AQ= ．

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴ （2t﹣4）= （3﹣t），

解得：t= s；

綜上所述，t=1s或 s

（3）

解：①連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點O，過Q作QE⊥CA于點E，過O作OF⊥CA于點F，

則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．

同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是： （14﹣2t），

故S= （t﹣3）× （14﹣2t）= （﹣t2+10t﹣21）．

②故當t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點．（如圖2）．

∵沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，

∴PD一定是AC的中垂線．

則AP= AC=2，PD= BC= ，

AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．

則PC邊上的高是： AQ= ×4= ．

∵∠COF=∠CDP=∠B，

所以，在Rt△COF中，tan∠COF= ，設OF為x，

則利用三角函數(shù)得CF= ，PF=2﹣ ，

則QE= ，AE= ，

∴PE=AE﹣AP= ，

∵△POF∽△PQE，

∴ = ，

解得：x= ，

S△PCO= ×2× = ．

【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC= =4，
則Q從C到B經過的路程是9，需要的時間是4.5秒．此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根據(jù)題意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7s．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．