Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為A（﹣1，﹣1），與x軸交點(diǎn)M（1，0）．C為x軸上一點(diǎn)，且∠CAO=90°，線段AC的延長(zhǎng)線交拋物線于B點(diǎn)，另有點(diǎn)F（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線Ac的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)B做x軸的垂線，交x軸于Q點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點(diǎn)，若P是△BEF的邊EF上的任意一點(diǎn)，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

  

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）²﹣1，將（1，0）代入得：

0=a（1+1）²﹣1，

解得；a=，

∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²﹣1；

（2）∵A（﹣1，﹣1），

∴∠COA=45°，

∵∠CAO=90°，

∴△CAO是等腰直角三角形，

∴AC=AO，

∴C（﹣2，0），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

將A，C點(diǎn)代入得出：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，

將y=（x+1）²﹣1和y=﹣x﹣2聯(lián)立得：

，

解得：，，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，B點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣5，3）；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BP⊥EF于點(diǎn)P，

由題意可得出：E（﹣5，﹣2），設(shè)直線EF的解析式為：y=dx+c，

則，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=x+，

∵直線BP⊥EF，∴設(shè)直線BP的解析式為：y=﹣2x+e，

將B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，

解得：e=﹣7，

∴直線BP的解析式為：y=﹣2x﹣7，

∴將y=﹣2x﹣7和y=x+聯(lián)立得：

，

解得：，

∴P（﹣3，﹣1），

故存在P點(diǎn)使得BP⊥EF，此時(shí)P（﹣3，﹣1）．