Question

16．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），一次函數(shù)y=x+3的圖象是直線l，點(diǎn)P（a，b）在直線l上．
（1）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，設(shè)△OPA的面積為S，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求a的取值范圍；
（2）若一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)a取何值時(shí)△CPB是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求得直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及AO的長，再根據(jù)點(diǎn)P（a，b）在直線l：y=x+3上，確定點(diǎn)P離x軸的距離，最后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，求得S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式和a的取值范圍；
（2）先判斷△COD是等腰直角三角形，再分兩種情況進(jìn)行討論：∠CP₁B是直角和∠CBP₂是直角，分別求得a的值．

解答 解：（1）在一次函數(shù)y=x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
∴直線l與x軸交于（-3，0），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），
∴AO=2，
∵點(diǎn)P（a，b）在直線l：y=x+3上，
∴b=a+3，
∴△OPA的面積=$\frac{1}{2}$×AO×|y_P|，
即S=$\frac{1}{2}$×2×|b|，
∵點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×（a+3）=a+3（-3＜a＜0）；

（2）如圖，在一次函數(shù)y=x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴直線l與y軸交于D（0，3），
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°，
①當(dāng)∠CP₁B是直角時(shí)，△BCP₁是等腰直角三角形，
此時(shí)，BC=4-（-3）=7，點(diǎn)P₁在第一象限，離x軸的距離為3.5，離y軸的距離為0.5，
∴P₁（0.5，3.5）；
②當(dāng)∠CBP₂是直角時(shí)，△BCP₂是等腰直角三角形，
此時(shí)，BP₂=BC=4-（-3）=7，點(diǎn)P₂在第一象限，離x軸的距離為7，離y軸的距離為4，
∴P₂（4，7），
綜上所述，當(dāng)a取0.5或4時(shí)，△CPB是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩條直線相交問題，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形面積的計(jì)算方法，以及等腰直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．