Question

【題目】如圖，已知直線與二次函數的圖像交于點A、O，(O是坐標原點)，點P為二次函數圖像的頂點，OA=，AP的中點為B．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求線段OB的長；

（3）若射線OB上存在點Q，使得△AOQ與△AOP相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】；（2）； (3)點Q的坐標時，△AOQ與△AOP相似.

【解析】

（1）由點A在直線y=x上，可知A的橫縱坐標相等，又因為OA=

，所以可以求出A的坐標，再把O和A的坐標代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函數的解析式；
（2）用配方法求出頂點P的坐標，再利用勾股定理求出OP的長和AP的長，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形狀，進而求出OB的長；
（3）若△AOQ與△AOP相似，則①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根據相似三角形的性質得到比例式，求出滿足題意的OQ值即可．

（1）∵點A在直線上，且，∴A(3,3) .

∵ 點O(0,0)，A(3,3)在的圖像上，

∴ ，解得： 。∴二次函數的解析式為.

（2）由題意得頂點P(1,-1)。∴

∴，∴∠AOP=90°.

∵∠AOP=90°，B為AP的中點 ，∴.

(3) ∵∠AOP=90°，B為AP的中點 ，∴OB=AB .∴∠AOB=∠OAB.

若△AOQ與△AOP相似，，則①△AOP∽△OQA ，

∴，∴.

②△AOP∽△OAQ ，∴ .

∵B(2,1) ∴.

即點Q的坐標時，△AOQ與△AOP相似.