Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣3；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴ = ，即 = ，

∴HQ= t．

∴S△PBQ= PBHQ= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ．

當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2

∴當(dāng)t=1時(shí)，

S△PBQ最大= ．

答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是 ；

（3）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣3．

∵點(diǎn)K在拋物線上．

∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m， m2﹣ m﹣3）．

如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m， m﹣3）．

∴EK= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+ m．

當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ．

∴S△CBK= ．

S△CBK=S△CEK+S△BEK= EKm+ EK（4﹣m）

= ×4EK

=2（﹣ m2+ m）

=﹣ m2+3m．

即：﹣ m2+3m= ．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．

【解析】方法二：（1）略．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∵B（4，0），∴l(xiāng)BC：y= x﹣3，

過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H，

∴tan∠HBQ= ，∴sin∠HBQ= ，

∵BQ=t，∴HQ= t，

∴S△PBQ= PBHQ= =﹣ ，

∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大= ．

⑶過點(diǎn)K作KE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，

∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ，

∴S△CBK= ，

設(shè)E（m， m﹣3），K（m， ），

S△CBK= = =﹣ ，

∴﹣ = ，

∴m1=1，m2=3，

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．