Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在軸正半軸與軸正半軸上，是對(duì)角線.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，射線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連結(jié)，.

（1）求證：；

（2）請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>的面積是否變化？若不變化，試求出的面積；若變化，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，是等腰直角三角形；

（4）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； (2)三角形的面積=4，為定值；（3）；（4）運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為.

【解析】

（1）由∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，可得∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF；（2）由△POE∽△FOP，可得，推出OP2=OEOF，由正方形OAPB的邊長(zhǎng)為2，推出OP=2，推出OEOF=8，由此即可解決問題；（3）分兩種情形討論求解即可；（4）確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形OAPB是正方形，
∴∠POB=∠POA=45°，
∵∠POB=∠POF+∠OPF=45°，∠POA=∠PEO+∠OPE=45°，∠EPF=∠EPO+∠OPD=45°，
∴∠EPO=∠OFP，∠PEO=∠OPF，
∴△POE∽△FOP；
（2）解：結(jié)論：△OEF的面積是定值，不變；
理由：∵△POE∽△FOP，
∴，
∴OP2=OEOF，
∵正方形OAPB的邊長(zhǎng)為2，
∴OP=2，
∴OEOF=8，
∴S△OEF=OEOF=4．
（3）如圖2中，當(dāng)FP=FE，∠PFE=90°時(shí)，易證△FBP≌△EOF，
∴OF=BP=2，OE=BF=4，
∵PB∥EO，
∴，
∴OC=,BC=，
∴m=.

如圖3中，當(dāng)PE=FE，∠PPEF=90°時(shí)，易證△FOD≌△EAP，
∴OE=AP=2，OF=AE=4，
∵PB∥EO，
∴ =1，
∴OC=BC=1，
∴m=1，

綜上所述，滿足條件的m的值為或1．
（4）如圖4中，將△PAD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBK．

易證△CPD≌△CPK，
∵PG⊥CD，PB⊥CK，
∴PG=PB=2，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以P為圓心2為半徑的弧BD，
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)==π.