Question

10．已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接CD、BF．
（1）求證：△BDE≌△CFE；
（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDCF是矩形？

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠DBE=∠CFE，由中點(diǎn)的定義得出BE=CE，由ASA證明△BDE≌△CFE即可；
（2）先證明DE是△ABC的中位線，得出DE∥AC，證出四邊形BDCF是平行四邊形，得出AD=CF，證出CF=BD，得出四邊形BDCF是平行四邊形；再由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CF∥AB，
∴∠DBE=∠CFE，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
在△BDE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CFE}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\\{∠BED=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CFE（ASA）；
（2）解：當(dāng)BC=AC時(shí)，四邊形BDCF是矩形，理由如下：
∵D、E分別是AB，BC的中點(diǎn)
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，又AF∥BC，
∴四邊形BDCF是平行四邊形，
∴AD=CF，
又BD=AD，
∴CF=BD，又CF∥BD，
∴四邊形BDCF是平行四邊形；
∵BC=AC，BD=AD，
∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，
∴平行四邊形BDCF是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．