Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E；
（1）求證：BE=CE；
（2）若以O(shè)、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，⊙O的半徑為r，求△ABC的面積；
（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半徑OC的長．

Answer 1

（1）證明：連接CD，由AC是直徑知CD⊥AB；
DE、CE都是切線，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，從而BE=CE；

（2）解：連接OD，
當(dāng)以O(shè)、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，DE=EC=OC=OD=r；
從而BE=r，即△ABC是一個等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S_△ABC=2r²；

（3）解：若EC=4，BD=4，則BC=8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；
另解：設(shè)OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；
則：，解得；即OC=．
分析：（1）連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB；由切線長定理知DE=DC，則∠EDC=∠ECD，此時發(fā)現(xiàn)∠EBD和∠EDB都是等角的余角，所以它們相等，由此可證得BE=DE；
（2）若四邊形ODCE是正方形，那么DE、BE、CE、OC的長都和半徑相等，即AC=BC=2r，已知了直角三角形的兩條直角邊，即可根據(jù)面積公式求得其面積；
（3）已知了BC（即2EC）、BD的長，可在Rt△BCD中求出∠BCD的度數(shù)和CD的長，進而可在Rt△ACD中求出AC的長，也就得到了⊙O的半徑．
（也可設(shè)出半徑和AD的長，利用切割線定理及勾股定理列方程組求解．）
點評：此題主要考查了圓周角定理、正方形的性質(zhì)、切線長定理及解直角三角形等知識的綜合應(yīng)用能力．