Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，對稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，同時從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒個單位長度的速度分別沿，邊運(yùn)動．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)，與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)，運(yùn)動到秒時，沿翻折，點(diǎn)恰好落在軸上點(diǎn)處，請判定此時四邊形的形狀，并求出點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到對稱軸與的交點(diǎn)時，點(diǎn)往回運(yùn)動，同時點(diǎn)則倍的速度繼續(xù)沿運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

（4）在段的拋物線上有一點(diǎn)到線段的距離最大，請求出這個最大距離．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數(shù)的解析式為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）為菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）最大值；（4）最大距離為．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)．

(2)先證明AMDN為菱形,再由菱形的性質(zhì)得出OM∥AN,進(jìn)而證明,利用對應(yīng)邊成比例求出OD的值,即可求出D的坐標(biāo)．

(3)①當(dāng)M沿AB方向運(yùn)動時,作輔助線證明,利用對應(yīng)邊成比例求線段進(jìn)而求出面積;②當(dāng)點(diǎn)M沿BA方向運(yùn)動時, 同樣證明,利用對應(yīng)邊成比例求出線段進(jìn)而求出面積．

(4)通過一次函數(shù)的解析式設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo), 過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線段得出N點(diǎn)坐標(biāo),由相似對應(yīng)邊成比例求出RG為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值解出即可．

解：（1）由已知，得，解得

所以二次函數(shù)的解析式為．

由對稱軸以及點(diǎn)的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將代人拋物線方程，得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）如圖1，因為四邊形的四條邊相等，所以為菱形，所以．

，，由，得，即

解得．又，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

圖1

（3）①當(dāng)點(diǎn)沿方向運(yùn)動時，過做垂直于點(diǎn)，如圖2．

則，由，得．

即，，，此時當(dāng)時，面積取最大值．

圖2

②當(dāng)點(diǎn)沿方向運(yùn)動時，如圖3設(shè)返回時的時間為，同樣，，，

此時，

當(dāng)時，取得最大值

綜合①②可知，點(diǎn)運(yùn)動的整個過程，當(dāng)時間為時，取得最大值．

圖3

（4）求得

設(shè)此段拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

過點(diǎn)作軸的垂線段，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

由，得，

由，得，，

得．

當(dāng)時，取最大值為．

圖4