Question

【題目】如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE＝∠C．

（1）求證：AE與⊙O相切于點A；

（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點可確定用“連半徑，證垂直”的方法證明切線，連接AO并延長交⊙O于點F，連接BF，則AF為直徑，∠ABF＝90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，則可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE與⊙O相切于點A．

（2））連接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，則∠AOC＝∠AOB，從而利用垂徑定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，設OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的長為2．

解：（1）連接AO并延長交⊙O于點F，連接BF，

則AF為直徑，∠ABF＝90°，

∵，

∴∠ACB＝∠F，

∵∠BAE＝∠ACB，

∴∠BAE＝∠F，

∵∠FAB+∠F＝90°，

∴∠FAB+∠BAE＝90°，

∴OA⊥AE，

∴AE與⊙O相切于點A．

（2）連接OC，

∵AE∥BC，

∴∠BAE＝∠ABC，

∵∠BAE＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴AC＝AB＝2，

∴∠AOC＝∠AOB，

∵OC＝OB，

∴OA⊥BC，

∴CH＝BH＝BC＝，

在Rt△ABH中，

AH＝＝1，

在Rt△OBH中，設OB＝r，

∵OH2+BH2＝OB2，

∴（r﹣1）2+（）2＝r2，

解得：r＝2，

∴DB＝2r＝4，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，

∴AD的長為2．