Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，已知．

（1）求的值．

（2）若四邊形ABCD是菱形．

①求證：△APB≌△APD；

②若DP的長(zhǎng)為6，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①見(jiàn)解析，②5

【解析】

（1）由題意可得AD=BC，AD∥BC，根據(jù)題意可設(shè)DF=x，則AF=2x，即AD=BC=3x，由平行線分線段成比例可求＝＝＝；

（2）①由菱形的性質(zhì)可得AB=AD，∠DAP=∠BAP，可證：△APB≌△APD；

②由題意可求FP=4，且＝＝，可求GF的長(zhǎng)．

解：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD＝BC，AD∥BC

∵＝．

∴設(shè)DF＝x，則AF＝2x

∴AD＝3x

∴BC＝AD＝3x

∵AD∥BC

∴＝＝＝;

（2）①∵四邊形ABCD是菱形

∴AC平分∠BAD，

AB＝AD

∴∠DAP＝∠BAP

又AP＝AP

∴△APB≌△APD（SAS）

②解：∵△APB≌△APD

∴DP＝BP＝6

∵=,

∴FP＝4

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥DC

∴＝＝,

∴=，

∴GF＝5