若實數(shù)a,b滿足a+b2=1,則2a2+7b2的最小值是 .
【答案】
分析:根據(jù)a+b
2=1求出a的取值范圍,再把代數(shù)式變形,然后結(jié)合結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及b的取值范圍求得結(jié)果.
解答:解:∵a+b
2=1,
∴a=1-b
2∴2a
2+7b
2=2(1-b
2)
2+7b
2=2b
4+3b
2+2=2(b
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/0.png)
)
2+2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/1.png)
=2(b
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/2.png)
)
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/3.png)
,
∵b
2≥0,
∴2(b
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/4.png)
)
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/5.png)
>0,
∴當b
2=0,即b=0時,2a
2+7b
2的值最�。�
∴最小值是2.
方法二:∵a+b
2=1,
∴b
2=1-a,
∴2a
2+7b
2=2a
2+7(1-a)=2a
2-7a+7=2(a-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/6.png)
)
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185258365925560/SYS201311011852583659255013_DA/7.png)
,
∵b
2≥0,
∴1-a≥0,
∴a≤1,
∴當a=1,即b=0時,2a
2+7b
2的值最小.
∴最小值是2.
點評:此題比較復(fù)雜,是中學(xué)階段的難點,綜合性比較強,解答此題的關(guān)鍵是先求出b的取值范圍,再把已知代數(shù)式變形后代入未知,把求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)式的最小值,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及b的取值范圍解答.