Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，BO＝10，sin∠BOA＝．

(1)在圖中，求作△ABO的外接圓；（尺規(guī)作圖，不寫作法但需保留作圖痕跡）

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)與cos∠BAO的值；

(3)若A，O位置不變，將點(diǎn)B沿軸正半軸方向平移使得△ABO為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出平移距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）cos∠BAO=；（3）當(dāng)點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位、（2+12）個(gè)單位，或（2﹣8）個(gè)單位時(shí)，△ABO為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）作OB，AB的垂直平分線交于一點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑畫圓，則圓M即為所求；

（2）如圖，作BH⊥OA，垂足為H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA=，得到BH=6，OH=8，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），根據(jù)OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB==6，求出cos∠BAO==；

（3）①當(dāng)BO=AB時(shí)，由AO=20，得到OH=10，點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位；

②當(dāng)AO=AB′時(shí)，由AO=20，得到AB′=20，過B′作B′N⊥x軸，由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），得到B′N=6，AN==2．求得點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2+12）個(gè)單位，

③當(dāng)AO=OB″時(shí)，由AO=20，得到OB″=20，過B″作B″P⊥x軸．由B的坐標(biāo)為（8，6），得到B″P=6，OP==2，點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2﹣8）個(gè)單位．

解：（1）如圖所示：

（2）如圖，作BH⊥OA，垂足為H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=，

∴BH=6，

∴OH=8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB==6

∴cos∠BAO==；

（3）①當(dāng)BO=AB時(shí)，∵AO=20，∴OH=10，

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位，

②當(dāng)AO=AB′時(shí)，∵AO=20，∴AB′=20，

過B′作B′N⊥x軸，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），

∴B′N=6，∴AN==2．

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2+12）個(gè)單位，

③當(dāng)AO=OB″時(shí)，

∵AO=20，

∴OB″=20，

過B″作B″P⊥x軸．

∵B的坐標(biāo)為（8，6），

∴B″P=6，

∴OP==2，

∴點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移（2﹣8）個(gè)單位，

綜上所述當(dāng)點(diǎn)B沿x軸正半軸方向平移2個(gè)單位、（2+12）個(gè)單位，或（2﹣8）個(gè)單位時(shí)，△ABO為等腰三角形．