Question

【題目】如圖 1，直線與軸，軸分別交于點，點，拋物線經(jīng)過點，點和點，并與直線交于另一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖 2，點為軸上一動點，連接，當(dāng)時，求點 的坐標(biāo)；

（3）如圖 3，將拋物線平移，使其頂點是坐標(biāo)原點，得到拋物線；將直線向下平移經(jīng)過坐標(biāo)原點，交拋物線于另一點．點，點是上且位于 第一象限內(nèi)一動點，交于點，軸分別交于，試說明：與存在一個確定的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由詳見解析

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將A、B、C三點的坐標(biāo)代入即可求解；

（2）P點分在A點的左邊和右邊的兩種情況（圖見詳解），當(dāng)P點在A點右邊時，證出，即可通過相似比求出AP1的長度從而求出P1點坐標(biāo)；當(dāng)P點在A點左邊時，通過證出，得到AK的長度，從而求出K點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CK的解析式，P2就是直線CK與x軸的交點；

（3）根據(jù)題意求出移動后的拋物線及直線OF的解析式，設(shè)出動點N的坐標(biāo)，通過聯(lián)立方程用N點的坐標(biāo)表示出Q、R、S的橫坐標(biāo)，通過觀察這三個橫坐標(biāo)的值即可得出數(shù)量關(guān)系．

解：（1）直線經(jīng)過B點，且B點在x軸上，

．

將代入，得：

拋物線的解析式．

（2）如下圖所示，設(shè)

由

得，

．

I.當(dāng)點在點的右邊，記此時的點為，

時，．

II.當(dāng)點在點的左邊，時，

記此時的點為，則有

過點作軸的垂線,交于點，

則，又公共邊,

，

設(shè)直線，，

直線，

的坐標(biāo)：．

（3），理由如下：

依題意，拋物線的解析式：

的解析式：

設(shè)

直線的解析式：

直線的解析式：

聯(lián)立與

解得

解得

即點S是點Q、點R的中點，

即．