Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；

（2）直接寫出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AD﹣DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴．

∴t=．

∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)N落在BD上．

 

（2）①如圖2，

則有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴DO=．

∴1×t=AD+DO=3+．

∴t=．

∴當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是2＜t＜．

 

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖4．

S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖5，

∵tan∠ADB==，

∴=．

∴PG=4﹣t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB=，

∴．

∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．

∴S=S_{正方形PQMN}﹣S_△GNF

=t²﹣×（﹣4）×（t﹣3）

=﹣t²+7t﹣6．

③當(dāng)3＜t≤時(shí)，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴==．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴．

∴BQ=，PQ=．

∴QM=PQ=．

∴BM=BQ﹣QM=．

∵tan∠ABD=，

∴FM=BM=．

∴S=S_梯形PQMF=（PQ+FM）•QM

=[+]•

=（8﹣t）²

=t²﹣t+．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=t²．

當(dāng)＜t≤3時(shí)，S=﹣t²+7t﹣6．

當(dāng)3＜t≤時(shí)，S=t²﹣t+．

 

（4）設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE=．

①點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)E作EH∥PN交AD于點(diǎn)H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE=，EH=AB=4，

∴．

解得；t=．

②點(diǎn)P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴．

∵DP=t﹣3，DO=，OE=2，

∴PN=（t﹣3）．

∵PQ=（8﹣t），PN=PQ，

∴（t﹣3）=（8﹣t）．

解得：t=．

③點(diǎn)P在OC上，設(shè)DE與OC交于點(diǎn)S，連接OE，交PQ于點(diǎn)R，如圖9，

則有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴．

∴SC=2SO．

∵OC=，

∴SO==．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴．

∵SP=3++﹣t=，SO=，OE=2，

∴PN=．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴．

∵OP=t﹣，OC=，EC=，

∴PR=．

∵QR=BE=，

∴PQ=PR+QR=．

∵PN=PQ，

∴=．

解得：t=．

綜上所述：當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為、、．