Question

對于點E和四邊形ABCD，給出如下定義：在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，則稱E為四邊形ABCD邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們稱E為四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．

如圖1，在四邊形ABCD中，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上， 點E是AB邊上一點，∠DEC=45°，試判斷點E是否是四邊形ABCD邊AB上的相似點，并證明你的結(jié)論正確；

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3.

①在AB邊上是否存在點E，使點E為四邊形ABCD邊AB上的“強相似點”．若存在，有幾個？試在圖2中畫出所有強相似點；

②在①所畫圖形的基礎(chǔ)上求AE的長.

Answer 1

（1）是，證明略；（2）4

【解析】

試題分析：（1）觀察圖形可知∠A=∠B=∠DEC=45°，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，可以得到∠ADE=∠CEB即可證明△ADE∽△BCE得到E是四邊形ABCD邊AB上的相似點．；

（2）矩形的強相似點需要滿足以E為頂點的角是直角，所以利用圓周角定理畫以CD為直徑的園交AB的點就是所求的點，利用相似可以求出AE的長度.

試題解析：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，

∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°

∴∠ADE=∠CEB，

∴△ADE∽△BCE，

∴點E是四邊形ABCD邊AB上的相似點．

（2）①如圖：強相似點有兩個，點E’,E’’即是四邊形ABCD邊AB上的兩個強相似點.

②設(shè)AE’=x,則BE’=8-x,∵△AD E’∽△BC E’，

∴，解得 ∴AE的長為4

考點：相似的性質(zhì)及判定.