Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動．設(shè)移動開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm²）
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，可求出S和t的關(guān)系．
（2）根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動．設(shè)移動開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S，求出S和t的關(guān)系式．
（3）兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的三角形是相似三角形可求出解．
解答：解：（1）如圖1，當(dāng)t=1秒時(shí)，AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2----------（1分）

由S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG----------（2分）
=×-
=×（10+2）×8-×10×4-
=24（cm²）----------（3分）

（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，
此時(shí)AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，F(xiàn)C=8-4t，CG=2t
S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG 
=×（EB+CG）•BC-EB•BF-FC•CG
=×8×（12-2t+2t）-×4t（12-2t）-×2t（8-4t）
=8t²-32t+48．----------（4分）
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t=2t+8，解得t=4----------（5分）
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上移動，點(diǎn)F、G都在邊CD上移動，此時(shí)CF=4t-8，CG=2t
FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t
S=FG•BC=（8-2t）•8=-8t+32．
即S=-8t+32----------（6分）

（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上的邊移動時(shí)，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若=，即=，
解得t=．
又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△FCG----------（7分）
2若=即=，解得t=．
又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△GCF----------（8分）
綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定定理，一次函數(shù)的應(yīng)用和三角形的面積以及矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．