Question

情境觀察
將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與BC相等的線段是

AD或A′D

，∠CAC′=

90

°．

問題探究
如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，利用矩形性質(zhì)即可得出與BC相等的線段以及∠CAC′的度數(shù)；
（2）根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，進而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．

解答：解：（1）根據(jù)將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，
∴與BC相等的線段是 AD或A′D，
∵∠C′AD=∠C，
∠C+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°
∴∠CAC′=90°；      

（2）EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴

∠EPA=∠AGB ∠PEA=∠BAG EA=AB

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
∴AG=EP．
同理AG=FQ． 
∴EP=FQ．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABG≌△EAP是解題關(guān)鍵．