Question

 

1.情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是        ，∠CAC′=          °．

2.問題探究 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

3.拓展延伸  如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

 

Answer 1

 

1.AD（或A′D），90

2.結(jié)論：EP=FQ. ……………………………3分

證明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ. ∴EP=FQ. …………………………………7分

3.拓展延伸

結(jié)論：HE=HF.  ……………………………8分

理由：過點E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.

∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .

同理△ACG∽△FAQ，∴ =.

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ .∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF …………………12分

解析:（1）利用三角形全等，得出兩條線段相等. （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到圖（2）中相等的線段和90°的角；（3）分別將圖（2）順時針旋轉(zhuǎn)90°、逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖（3）利用（2）的結(jié)論證明所給的兩線段相等；（4）利用類比的思想，得出兩三角形相似，再利用直角三角形的全等得到兩線段的相等.