Question

【題目】校園安全與每個(gè)師生、家長和社會有著切身的關(guān)系．某校教學(xué)樓共五層，設(shè)有左、右兩個(gè)樓梯口，通常在放學(xué)時(shí)，若持續(xù)不正常，會導(dǎo)致等待通過的人較多，發(fā)生擁堵，從而出現(xiàn)不安全因素．通過觀察發(fā)現(xiàn)位于教學(xué)樓二、三樓的七年級學(xué)生從放學(xué)時(shí)刻起，經(jīng)過單個(gè)樓梯口等待人數(shù)按每分鐘12人遞增，6分鐘后經(jīng)過單個(gè)樓梯口等待人數(shù)按每分鐘12人遞減；位于四、五樓的八年級學(xué)生從放學(xué)時(shí)刻起，經(jīng)過單個(gè)樓梯口等待人數(shù)y2與時(shí)間為t（分）滿足關(guān)系式y(tǒng)2=﹣4t2+48t﹣96（0≤t≤12）．若在單個(gè)樓梯口等待人數(shù)超過80人，就會出現(xiàn)安全隱患．
（1）試寫出七年級學(xué)生在單個(gè)樓梯口等待的人數(shù)y1（人）和從放學(xué)時(shí)刻起的時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．
（2）若七、八年級學(xué)生同時(shí)放學(xué)，試計(jì)算等待人數(shù)超過80人所持續(xù)的時(shí)間．
（3）為了避免出現(xiàn)安全隱患，該校采取讓七年級學(xué)生提前放學(xué)措施，要使單個(gè)樓梯口等待人數(shù)不超過80人，則七年級學(xué)生至少比八年級提前幾分鐘放學(xué)？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，y1= ；
（2）解：同時(shí)放學(xué)：七年級單個(gè)樓梯口等待人數(shù)為y= ，

當(dāng)0≤t≤6時(shí)，﹣4t2+60t﹣96=80，得t1=4，t2=11，

∴4≤t≤6；

當(dāng)6＜t≤12時(shí)，﹣4t2+36t+48=80，得t1=1，t2=8，

∴6＜t≤8．

∵8﹣4=4，

∴等待人數(shù)超過80人所持續(xù)的時(shí)間為：8﹣4=4（分）．

∴等待人數(shù)超過80人所持續(xù)的時(shí)間為：8﹣4=4分鐘；

（3）解：設(shè)七年級學(xué)生比八年級提前m（m＞0）分鐘放學(xué)，

當(dāng)0≤t≤6﹣m時(shí)，y=﹣4t2+48t﹣96+12（t+m）=﹣4t2+60t+12m﹣96，

∵﹣ =7.5＞6﹣m，

∴當(dāng)t=6﹣m時(shí)，y有最大值=﹣4m2+120，由﹣4m2+120≤80，

∵m＞0，

∴m2≥10，得m≥ ；

當(dāng)6﹣m＜t≤12﹣m時(shí)，y=﹣4t2+48t﹣96+144﹣12（t+m）=﹣4t2+36t﹣12m+48，

∵﹣ =4.5，

∴當(dāng)t=4.5時(shí)，y有最大值=129﹣12m≤80，得m≥4 ；

當(dāng)12﹣m＜t≤12時(shí)，y=﹣4t2+48t﹣96=﹣4（t﹣6）2+48≤48．

∴要使單個(gè)樓梯口等待人數(shù)不超過80人，則七年級學(xué)生比八年級至少提前4 分鐘放學(xué)，

【解析】（1）前六分鐘時(shí)，七年級單個(gè)樓梯口等待人數(shù)=12×?xí)r間；6分鐘后七年級單個(gè)樓梯口等待人數(shù)=6×12﹣12×超過6分鐘的時(shí)間，注意應(yīng)根據(jù)等待的人數(shù)為非負(fù)數(shù)得到自變量的取值；（2）根據(jù)同時(shí)放學(xué)4、5樓不變，但2、3樓需要加八年級的人數(shù)，從而得出關(guān)系式求出即可；（3）讓（1）（2）得到的式子為80列式求值即可．