Question

【題目】兩個(gè)全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不動(dòng)，將△DEF 進(jìn)行如下操作：

（1）如圖，△DEF 沿線段 AB 向右平移（即 D 點(diǎn)在線段 AB 內(nèi)移動(dòng)），連接 DC、CF、FB，四邊形 CDBF 的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積．

（2）如圖，當(dāng) D 點(diǎn)移到 AB 的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF 的形狀，并說(shuō)明理由．

（3）如圖，△DEF 的 D 點(diǎn)固定在 AB 的中點(diǎn)，然后繞 D 點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使 DF 落在 AB 邊上，此時(shí) F 點(diǎn)恰好與 B 點(diǎn)重合，連接 AE，請(qǐng)你求出 sinα的值．

Answer 1

【答案】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中 ∵∠A＝60°

∴sin60°＝∴……………1分

在Rt△ABC中 ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2 …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中點(diǎn) ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜邊中線 ∴CD=1……5分

同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF

∴四邊形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中

∴……………………………7分

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE 垂足為H

則△ADH∽△AEB ∴

即∴ DH=……8分

在Rt△DHE中

sinα==…=…………………9分

【解析】

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE，再結(jié)合兩條平行線間的距離相等，則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積．根據(jù)60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的長(zhǎng)，從而求得其面積；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個(gè)菱形；

（3）過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AE于H，可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)三角形ADE的面積的不同計(jì)算方法，可以求得DH的長(zhǎng)，進(jìn)而求解．