Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，點(diǎn)D在AB上，且BD=2AD，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至CE，連接BE，DE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）求線段DE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：(1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，于是可得∠ACD=∠BCE,然后根據(jù)SAS即可得到△ACD≌△BCE;(2)先在RT△中利用勾股定理求出AB=6,由BD=2AD得到AD=2,BD=4,再證明∠DBE=90°,BE=2,然后在RT△BDE中利用勾股定理即可求出DE的長(zhǎng)度.

詳解：（1）證明：∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至CE，

∴CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，

即∠ACD=∠BCE．

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，

∴AB=6．

∵BD=2AD，

∴AD=2，BD=4．

由（1）可知△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠A=45°，BE=AD=2，

∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°．

∵在Rt△BDE中，∠DBE=90°，

∴DE2=BE2+BD2，

∴DE==2．

點(diǎn)睛:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).