Question

11．如圖，一次函數$y=-\frac{2}{3}x+2$的圖象分別與x軸、y軸交于A、B，已線段AB為邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°．
（1）分別求點A、C的坐標；
（2）在x軸上求一點P，使它到B、C兩點的距離之和最�。�

Answer 1

分析 （1）作CD⊥x軸，易證∠OAB=∠ACD，即可證明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解題；
（2）作C點關于x軸對稱點E，連接BE，即可求得E點坐標，根據點P在直線BE上即可求得點P坐標，即可解題．

解答 解：（1）作CD⊥x軸，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA=90°}\\{∠OAB=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∵y=-$\frac{2}{3}$x+2與x軸、y軸交于點A、B，
∴A（3，0），B（0，2），
∴點C坐標為（5，3）；

（2）作C點關于x軸對稱點E，連接BE，

則E點坐標為（5，-3），將（0，2）（5，-3），代入y=ax+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{5a+c=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴直線BE解析式為y=-x+2，
設點P坐標為（x，0），
則（x，0）位于直線BE上，
∴點P坐標為（2，0）．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ABO≌△CAD是解題的關鍵．