Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．
（1）請(qǐng)你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時(shí)先使用鉛筆畫出，確定后必需使用黑色字跡的簽字筆描黑）．
第一步，過點(diǎn)A用圓規(guī)和直尺作∠BAC的角平分線，交⊙O于點(diǎn)D；
第二步，過點(diǎn)D用三角板作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E；
第三步，連接BD．
（2）求證：DE為⊙O的切線．
（3）若∠B=60°，DE=2$\sqrt{3}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖作AD平分∠CAB，然后根據(jù)幾何語言畫出DE和BD；
（2）連結(jié)OD，如圖，證明AC∥OD，然后利用DE⊥AC得到DE⊥OD，再根據(jù)切線的判定方法得到DE為⊙O的切線；
（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DCE=∠B=60°，然后在Rt△CDE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算CE．

解答 （1）解：如圖，

（2）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線；
（3）解：∵∠B=60°，
∴∠DCE=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．