Question

【題目】已知：如圖1，在梯形中，∥，，，點，，分別在邊，，上，＝＝.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當時，求證：四邊形是矩形；

（3）在(2)的條件下，如圖2，過點作于點，當，，這三條線段的長度滿足怎樣的數(shù)量關系時，可以判斷四邊形是正方形？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；(3) AD+BF=2GH，證明見詳解.

【解析】

(1)要證明該四邊形是平行四邊形，只需證明 AE∥FG ．根據(jù)對邊對等角∠GFC =∠C，和等腰梯形的性質(zhì)得到∠B = ∠C ，則∠B =∠GFC ，得到 AE∥FG ．

(2)在平行四邊形的基礎上要證明是矩形，只需證明有一個角是直角．根據(jù)三角形 FGC 的內(nèi)角和是 180 °，結(jié)合∠FGC = 2∠EFB和∠GFC =∠C ，得到∠BFE +GFC=90 °．則∠EFG = 90 °．

(3)題干要求，，這三條線段的長度數(shù)量關系并使得四邊形是正方形，根據(jù)題意作輔助線延長FB至點M，使BM=AD，連接EM，過點E作ENBF,垂足為N，得到繼續(xù)分析求證即可.

解：證明：（1 ） ∵在梯形 ABCD 中，AB = DC ，∠ B = ∠ C ，

∵ GF = GC ，

∴∠ C = ∠ GFC ，∠ B = ∠ GFC,

∴ AB ∥ GF ，即 AE ∥ GF,

∵ AE = GF ，

∴四邊形 AEFG 是平行四邊形.

( 2 ) ∵∠ FGC + ∠ GFC + ∠ C = 180 o，∠ GFC = ∠ C ，∠ FGC = 2 ∠ EFB ，

∴ 2 ∠ GFC +2 ∠ EFB = 180 o，

∴∠ BFE + ∠ GFC = 90o．

∴∠ EFG = 90o．

∵四邊形 AEFG 是平行四邊形，

∴四邊形 AEFG 是矩形.

（3）在（2）的條件下，當AD+BF=2GH時可以判斷四邊形AEFG是正方形.理由如下：

如圖3，延長FB至點M，使BM=AD，連接EM，過點E作ENBF,垂足為N，

則有MF=BM+BF=AD+BF=2GH,得到

,

.

,

又

.

.

四邊形AEFG是矩形，

四邊形是正方形.