Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D為邊BC上一點，點E為邊AB的中點，過點A作AF∥BC，交DE的延長線與點F，連接BF．
（1）求證：四邊形ADBF是平行四邊形；
（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

在△AEF與△BED中， ，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形ADBF是平行四邊形

（2）解：∵∠ADF=∠BDF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴AD=AF，

∴ADBF是菱形，

∴DF=2DE，AE⊥DF，

∵DF=2CD，

∵∠C=90°，

∴DC=DE，

在Rt△ACD與Rt△AED中， ，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AC=AE= AB，

∴∠ABC=30°

【解析】（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠BDE，根據全等三角形的性質得到AF=BD，于是得到結論；（2）根據已知條件得到ADBF是菱形，根據菱形的性質得到AB⊥DF，根據全等三角形的性質得到AC=AE= AB，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．