Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，DE＝DF，M是EF的中點．

（1）如圖1，當點E在AB上時，求證：點F在直線BC上．

（2）如圖2，在（1）的條件下，當CM＝CF時，求證：∠CFM＝22.5°

（3）如圖3，當點E在BC上時，若CM＝2，則BE的長為　 　（直接寫出結果）（注：等腰直角三角形三邊之比為1：1：）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，利用SAS證明△ADE≌△CDF即可；

（2）作EN∥CM交BC于N，根據M是EF的中點得CM是△EFN的中位線，可證得△BEN是等腰直角三角形，利用外角的性質即可求證；

（3）過點F作FG⊥BC于G，FQ⊥AD于Q，過點E作EH⊥AD于H，則四邊形CGQD為矩形，EH＝AB＝CD，作FN∥CM交CG于N，可根據AAS證明△QDF≌△HED，可得矩形CGQD是正方形，連接DM、GM，則DM是Rt△EDF的中線、GM是Rt△EGF的中線，可根據SSS證明△CMD≌△CMG，得到△NGF是等腰直角三角形，即可求出結果.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝90°，

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴∠A＝∠DCF＝90°，

∴點F在直線BC上；

（2）證明：作EN∥CM交BC于N，如圖2所示：

∵M是EF的中點，EN∥CM，

∴CM是△EFN的中位線，∠BCM＝∠BNE，

∴CN＝CF，由（1）得：△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF，

∴AE＝CN，

∴BE＝BN，

∴△BEN是等腰直角三角形，

∴∠BNE＝45°，

∴∠BCM＝45°，

∵CM＝CF，

∴∠CMF＝∠CFM＝∠BCM＝22.5°；

（3）解：過點F作FG⊥BC于G，FQ⊥AD于Q，則四邊形CGQD為矩形，

過點E作EH⊥AD于H，則EH＝AB＝CD，

作FN∥CM交CG于N，如圖3所示：

∵∠EDF＝90°，

∴∠HDE+∠QDF＝90°，

∵∠HDE+∠HED＝90°，

∴∠QDF＝∠HED，

在△QDF和△HED中，，

∴△QDF≌△HED（AAS），

∴EH＝DQ，

∴DQ＝CD，

∴矩形CGQD是正方形，

∴CG＝BC，

∵M是EF的中點，FN∥CM，

∴CM是△ENF的中位線，

∴∠GCM＝∠GNF，NF＝2CM＝4，CE＝CN，

∴BE＝NG，

連接DM、GM，則DM是Rt△EDF的中線、GM是Rt△EGF的中線，

∴DM＝EF，GM＝EF，

∴DM＝GM，

在△CMD和△CMG中， ，

∴△CMD≌△CMG（SSS），

∴∠DCM＝∠GCM＝∠DCG＝45°，

∴∠GNF＝45°，

∴△NGF是等腰直角三角形，

∴NG＝NF＝，

故答案為：．