【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C:連接BC,點P為線段BC上方拋物線上的一動點,連接OP交BC于點Q.
(1)如圖1,當值最大時,點E為線段AB上一點,在線段BC上有兩動點M,N(M在N上方),且MN=1,求PM+MN+NE-BE的最小值;
(2)如圖2,連接AC,將△AOC沿射線CB方向平移,點A,C,O平移后的對應點分別記作A1,C1,O1,當C1B=O1B時,連接A1B、O1B,將△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1在直線x=上是否存在點K,使得△A2B1K為等腰三角形?若存在,直接寫出點K的坐標;不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)K1(,),K2(,-2),K3(,-5),K4(,)
【解析】
(1)先求出拋物線與坐標軸的交點坐標,待定系數法求出直線BC解析式,過P作PT∥y軸交BC于T,構造△PTQ∽△ACQ,設點P的橫坐標為m,通過相似三角形性質得出關于m的函數表達式,利用二次函數最值即可;
(2)存在.先求出△AOC沿射線CB方向平移,并能使C1B=O1B時△A1O1B各頂點的坐標,在求出△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1的各頂點坐標,最后按照△A2B1K為等腰三角形進行分類討論即可.
解:(1)在拋物線y=-x2+x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得-x2+x+3=0,解得:x1=-1,x2=4,∴B(4,0)
設直線BC解析式為y=kx+b,將B(4,0),C(0,3);代入并解得:k=,b=3
∴直線BC解析式為y=x+3;
過P作PT∥y軸交BC于T,設P(t,++3),則T(t,+3),如圖所示:
∴PT=(++3)-(+3)=+3t,OC=3;
∵PT∥y軸
∴△PTQ∽△ACQ
∴==+t=
∴當t=2時,值最大;此時,P(2,),PT=3;
在Rt△BOC中,BC==5,
∴當NE⊥BC時,NE=BE,此時,NE-BE=0最小,
∵MN=1,∴PM+MN的最小值即PM最小值
∴PM⊥BC時,PM最小
過P作PM⊥BC于M,∴∠PMT=∠BOC=90°
∵∠PTM=∠BCO
∴=
∴PM=PT=,
故PM+MN+NE-BE的最小值=;
(2)存在.在△AOC中,∠AOC=90°,OA=1,OC=3,∴AC=
如圖2,
由平移得:C1O1=OC=3,A1O1=OA=1,A1C1=AC=,
∵C1B=O1B,C1O1⊥OB
∴C1G=C1O1=
∴BG=2,OG=2
∴C1(2,),O1(2,),A1(1,);
∴C1B=O1B=,A1B==;
∵△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1,
∴A2O1=1,O1B1=,A2B1=;
∴A2(2,),B1(,)
∵△A2B1K為等腰三角形,
∴A2K=B1K或A2B1=B1K或A2K=A2B1,
設K(,m)
①當A2K=B1K時,則:+=+,解得:m=-,∴K1(,),
②當A2B1=B1K時,則:+=,解得:m1=-2,m2=-5,∴K2(,-2),K3(,-5),
③當A2K=A2B1時,則:+=,解得:m1=(舍),m2=,∴K4(,);
綜上所述,點K的坐標為:K1(,),K2(,-2),K3(,-5),K4(,).
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【題目】在平面直角坐標系中,已知,,點從點開始沿邊向點以的速度移動;點從點開始沿邊向點以的速度移動.如果、同時出發(fā),用表示移動的時間,
(1)用含的代數式表示:線段______;_______;_______.
(2)當與相似時,求出的值.
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【題目】如圖,在單位長度為1的正方形網格中,一段圓弧經過網格的交點A、B、C.
(1)請完成如下操作:
①以點O為原點、豎直和水平方向為軸、網格邊長為單位長,建立平面直角坐標系;
②根據圖形提供的信息,標出該圓弧所在圓的圓心D,并連結AD、CD
(2)請在(1)的基礎上,完成下列填空:
①寫出點的坐標:C______、D______.
②⊙D的半徑=______(結果保留根號)
③求出弧AC的長.
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【題目】近一周,各個學校均在緊張有序的進行中考模擬考試,學生們通過模擬考試來調整自己的狀態(tài)并了解自己的學業(yè)水平.某中學物理教研組想通過此次中考模擬的成績來預估中考的各個分數段人數,在全年級隨機抽取了男、女各40名學生的成績,并將數據進行整理分析,給出了下面部分信息:
①男生成績扇形統計圖和女生成績頻數分布直方圖如下:(數據分組為A組:x<50,B組:50≤x<60,C組:60≤x<70,D組:70≤x≤80)
②男生C組中全部15名學生的成績?yōu)椋?/span>63,69,64,62,68,69,65,69,65,66,67,61,67,66,69
③兩組數據的平均數、中位數、眾數、滿分率、極差(單位:分)如表所示:
平均數 | 中位數 | 眾數 | 滿分率 | 極差 | |
男生 | 70 | b | c | 25% | 32 |
女生 | 70 | 68 | 78 | 15% | d |
(1)扇形統計圖A組學生對應的圓心角α的度數為______.
(2)若成績在70分(包含70分)以上為優(yōu)秀,請你估計該校1200名學生此次考試中優(yōu)秀的人數.
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【題目】如圖,反比例函數y1=的圖象與一次函數y2=ax+b的圖象相交于點A(1,4)和B(﹣2,n).
(1)求反比例函數與一次函數的解析式;
(2)請根據圖象直接寫出y1<y2時,x的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形的邊長為6,點是邊的中點,連接與對角線交于點,連接并延長,交于點,連接交于點,連接。以下結論:①;②;③;④。其中正確的結論是( )
A.1B.2C.3D.4
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