Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（﹣2，﹣3）和點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求直線DE和拋物線的表達(dá)式；

（2）在y軸上取點(diǎn)F（0，1），連接PF，PB，當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣1，y＝x2+x+2；（2）P（2，3）或（，）；（3）N（，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)D、E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)M作A′M∥AN，過(guò)作點(diǎn)A′直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，即可求解．

（1）將點(diǎn)D、E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：，解得：

，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x+2，

同理可得直線DE的表達(dá)式為：y＝x﹣1…①；

（2）如圖1，連接BF，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交BF于點(diǎn)H，

將點(diǎn)FB代入一次函數(shù)表達(dá)式，

同理可得直線BF的表達(dá)式為：y＝+1，

設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)H（x，+1），

S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（）＝7，

解得：x＝2或，

故點(diǎn)P（2，3）或（，）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P（2，3），

過(guò)點(diǎn)M作A′M∥AN，過(guò)作點(diǎn)A′直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，

∵MN＝2，相當(dāng)于向上、向右分別平移2個(gè)單位，故點(diǎn)A′（1，2），

A′A″⊥DE，則直線A′A″過(guò)點(diǎn)A′，則其表達(dá)式為：y＝﹣x+3…②，

聯(lián)立①②得x＝2，則A′A″中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)A″（3，0），

同理可得：直線AP″的表達(dá)式為：y＝﹣3x+9…③，

聯(lián)立①③并解得：x＝，即點(diǎn)M（，），

點(diǎn)M沿BD向下平移2個(gè)單位得：N（，）．