Question

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=4，tan∠ABD=

1

2

，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED=EB，OE⊥BD，則∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=

OB

BE

=

1

2

，易證Rt△CDO∽Rt△CBE，得到

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

1

2

，求得CD，然后在Rt△CBE中，運用勾股定理可計算出BE的長．

解答：（1）證明：連OD，OE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵EB為⊙O的切線，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=

1

2

，
∴tan∠OEB=

OB

BE

=

1

2

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

1

2

，
∴CD=

1

2

•4=2，
在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，
∴（x+2）²=x²+4²，
解得x=3．
即BE的長為3．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．