Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴該二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣x﹣4；

（2）由二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4可知對(duì)稱軸x=3，

∴D（3，0），

∵C（8，0），

∴CD=5，

由二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4可知B（0，﹣4），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣4，

設(shè)E（m，m﹣4），

當(dāng)DC=CE時(shí)，EC²=（m﹣8）²+（m﹣4）²=CD²，

即（m﹣8）²+（m﹣4）²=5²，解得m₁=8﹣2，m₂=8+2（舍去），

∴E（8﹣2，﹣）；

當(dāng)DC=DE時(shí)，ED²=（m﹣3）²+（m﹣4）²=CD²，

即（m﹣3）²+（m﹣4）²=5²，解得m₃=0，m₄=8（舍去），

∴E（0，﹣4）；

當(dāng)EC=DE時(shí)，（m﹣8）²+（m﹣4）²=（m﹣3）²+（m﹣4）²解得m₅=5.5，

∴E（，﹣）．

綜上，存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m²﹣m﹣4，

∵△PBD的面積S=S_梯形﹣S_△BOD﹣S_△PFD=m[4﹣（m²﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m²﹣m﹣4）]﹣×3×4

=﹣m²+m=﹣（m﹣）²+

∴當(dāng)m=時(shí)，△PBD的最大面積為，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．