Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．
（1）當A′與B重合時，（如圖1），EF=______；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長；
（2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=x，①當x的取值范圍是______時，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于矩形對折，于是EF=AD=5；根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可計算出A′C=4，設(shè)AE=t，則BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）²+1²=t²，解得t=，然后在RtAEF中，利用勾股定理即可計算出EF；
（2）①當折痕FE過B點時，四邊形AEA′F是正方形，BA′最小，此時BA′=BA=3；當點A的對應點A′落在C點時，BA′=5，于是得到x的取值范圍是3≤x≤5，四邊形AEA′F是菱形；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，∠AEF=∠A′EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A′EF=∠AFE，則有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根據(jù)菱形的判定即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）當A′與B重合時，如圖1，把矩形對折，所以EF=AD=5．
故答案為5；
如圖2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C==4，
設(shè)AE=t，則BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE²+BA′²=EA′²，
∴（3-t）²+1²=t²，解得t=，
在RtAEF中，AE=，AF=5，
∴EF==；

（2）①3≤x≤5；
②如圖4，∵△AEF沿EF折疊到△A′EF，
∴EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四邊形AEA′F是菱形．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，折痕垂直平分對應點的連線段．也考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)．