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(2000•天津)已知△ABC中,AC=BC=3,∠C=90°,AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F.
(1)設(shè)CF=x,用含x的代數(shù)式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面積表示出來;
(2)是否存在這樣的P點(diǎn),使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面積都小于4.
【答案】分析:(1)由于△ABC是等腰Rt△,那么∠A=∠B=45°,由此可得△AEP、△BPF也是等腰Rt△,因此此題中相等的線段有AE=PE=CF=x,BF=PF=CE=3-x,已知了這些線段的長(zhǎng),即可根據(jù)各自的面積公式進(jìn)行解答.
(2)在直角坐標(biāo)系中作出三個(gè)二次函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象,令兩函數(shù)關(guān)系式相等,求出x、y的值,再依據(jù)x的取值范圍,求y的范圍,進(jìn)而判斷面積是否小于4.
解答:解:(1)△AEP的面積為
△PFB的面積為;
矩形ECFP的面積為x().

(2)設(shè)y1=x2,y2=x(),y3=2
這三個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示,令,
得x1=0,x2=2
當(dāng)x1=0時(shí),y1=y2=0;當(dāng)x2=2時(shí),y1=y2=4;
∴y1和y2的交點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),A(2,4).
由圖知,在中,y1≥4,
由x()=2
得x3=,x4=3;
當(dāng)x3=時(shí),y2=y3=4,
當(dāng)x4=3時(shí),y2=y3=0,
∴y2和y3的交點(diǎn)坐標(biāo)為B(),C(),
由圖知,在時(shí),y3≥4,
時(shí),y2≥4,
∴在0<x<3中,y1,y2,y3中最大面積都不小于4,
因此不存在這樣的點(diǎn)P,使得三個(gè)圖形的面積都小于4.
點(diǎn)評(píng):本題二次函數(shù)的綜合題,要求會(huì)求兩圖象的交點(diǎn),結(jié)合圖象解決問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2000•天津)已知:AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的弦,且∠DAB=60°,過O作弦AD的平行線與過B點(diǎn)的切線交于C點(diǎn),連接CD,∠ADC=
150
150
度.

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