Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，﹣2)．點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)PD＝．

【解析】

（1）由點(diǎn)C坐標(biāo)，得直線方程為：y=-x+n=-x+4，從而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，m2-m-2），當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，BD=PD，即可求解.

(1)由點(diǎn)C坐標(biāo)，得直線方程為：y＝﹣x+n＝﹣x+4，

令y＝0，解得：x＝3，則點(diǎn)A(3，0)，

把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：b＝﹣，c＝﹣2，

則函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2；

(2)設(shè)點(diǎn)P(m，m2﹣m﹣2)，

點(diǎn)B(0，﹣2)，則點(diǎn)D(m，﹣2)，

當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，BD＝PD，

即： m2﹣m﹣2﹣(﹣2)＝m，

解得：m＝，(m＝0舍去)，

PD＝BD＝m＝．