Question

如圖，相距40km的兩個城鎮(zhèn)A，B之間有一個圓形湖泊，它的圓心落在AB連線的中點O，半徑為10km．現(xiàn)要修建一條連接兩城鎮(zhèn)的公路．經(jīng)過論證，認為AA′++BB′為最短路線（其中AA′，BB′都與⊙O相切）．

（1）你能計算出這段公路的長度嗎？（結(jié)果精確到0.1km）

（2）陰影部分的面積是多少？（結(jié)果精確到1km²）

Answer 1

 

考點： 扇形面積的計算；弧長的計算． 

專題： 應(yīng)用題．

分析： （1）連結(jié)OA′、OB′，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再計算出OA=OB=AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定義可求出∠A=30°，則∠AOA′=60°，AA′=OA′=10，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10，于是∠A′OB′=60°，接著根據(jù)弧長公式計算出弧A′B′的長度，然后求AA′++BB′的值即可；

（2）用△AA′O與△BB′O的面積減去扇形A′OC和扇形B′OD的面積即可．

解答： 解：（1）連結(jié)OA′、OB′，如圖，

∵AA′，BB′都與⊙O相切，

∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，

∵點O為AB的中點，

∴OA=OB=AB=20，

而OA′=OB′=10，

在Rt△OAA′中，∵sin∠A===，

∴∠A=30°，

∴∠AOA′=60°，AA′=OA′=10，

同理可得∠BOB′=60°，BB′=10，

∴∠A′OB′=60°，

∴弧A′B′的長度==π，

∴這段公路的長度=10+π+10≈45.1（km）；

 

（2）S_△AA′O=•sin∠A=×10×20×=50，

S_△B′OB=S_△AA′O=50，

S_扇形A′OC===，同理可得，S_扇形B′OB=，

所以S_陰影=S_△AA′O+S_△B′OB﹣S_扇形A′OC ﹣S_扇形B′OB=2×50﹣2×=100π=277.9（km²）．

點評： 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了弧長公式，扇形的面積公式，作出適當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．